摘要：本文针对超市收银台系统构建M/M/1经典排队模型，在假设只有一个收银台工作的前提下求解相关参数并分析，研究结果表明单收银台的服务强度相对较高，消费者的排队时间较长;最后通过两种方法改善系统，结果表明改善收银员服务效率虽然费用略高，但排队时间、排队队长均优于增加一个收银台情况。

　　关键词：运营优化;收银台;排队论;M/M/1模型

　　0 引言

　　对于超市开设几个收银台才能满足消费者以最低的成本前来购物的需求，很多研究者都有对其研究。王冠一[1]等利用Witness建立仿真模型，并发现了影响服务率的主要因素，为了达到优化的目的，他对收银台的数量等条件进行了调整。李森彪[2]等证明了，当大型超市存在“快速通道”时，双收银系统要优于单个收银系统，并得到最优的收银台数量。排队不仅在超市是常态，在银行服务系统中也屡见不鲜，冯登艳[3]认为由于银行行业的特殊性不能根据市场需求调整服务价格，因此在银行数量较少时，银行的服务价格低于均衡价格，从而引发排队现象。李华敏[4]通过调查顾客等待容忍度，从而建立银行柜台费用优化模型，并提出建议。

　　1.问题描述

　　由于超市地理位置的特殊性，使得超市一周7天的客流量居高不下，尤其周末与节假日期间，人流更是络绎不绝。这给收银工作带来巨大压力，究竟设置几个收银台、收银员的平均服务率为多少才能满足大量消费者，使消费者的体验得到良好提升是本文重点问题。

　　2.模型构建与求解

　　2.1 模型假设

　　(1)假设所有前来排队的消费者加入排队系统后不再离开，直至被服务完毕。且到达率为λ。(2)假设收银员的服务率μ不随着时间的变化而变化，且以最佳的状态工作。(3)假设前一个顾客离开后，收银员立即给后一个顾客服务，中间没有时间间隔。(4)假设超市中有且只有一个收银台工作，服务遵从先到先服务原则，且为等待制。

　　2.2 分布检验

　　(一)确定平均到达率分布

　　根据调研获得的超市某个收银台18:36:56-20:09:47营业时间段的100名消费者到达情况。根据图1的数据统计，转化为表1到达人数的频数、概率表。

　　由图1可得，顾客到达数量的趋势与泊松分布曲线相似，我们猜测该分布为泊松分布。于是建立原假设和备选假设： H0：单位时间内消费者的到达服从泊松分布;H1：单位时间内消费者的到达不服从泊松分布。

　　利用卡方检验对数据进行处理，验证消费者到达分布是否为泊松分布。

　　图1 单位时间频数、频率分布

　　表1 每分钟到达人数的频数、频率表

　　根据表1，首先用极大似然估计法来获取。

　　■=■=■i=15■=1.0989人/分钟，

　　根据以上的条件，我们已经将消费者按每分钟到达的个数分成6个组别，即i=0，1，2，3，4，5。分别计算每组的理论概率p{i}=■，然后得到每组别的理论频数npi，通过理论频数与实际频数fi的关系，计算出卡方检验的值。在本文中n取100，分组的npi小于5的均被合并。具体计算如表2所示。

　　表2 卡方的检验计算表当χ2≤χα2(k-r-1)时，其中k为合并后的分组数，r为分布内参数的个数，在α取一定数值时，可以接受原假设H0。

　　由表2，χ2=■■=4.92387。

　　本文取显著性水平α=0.05，通过查找卡方分布表得：

　　χα2(k-r-1)=χ0.052(2)=5.99>4.92387

　　在显著性水平为0.05情况下不拒绝原假设H0：在该营业时段内到达顾客数服从λ=1.0989人/分钟的泊松分布。

　　(二)确定平均服务率分布

　　根据超市收银台18:36:56-20:09:47营业时间段的100名消费者服务时刻调研情况，计算每一名消费者被服务的时间。最终得到100名消费者的总的服务时间为80.93分钟，收银台的平均服务率为1.235人/分钟，收银台对每名消费者的平均服务时间为0.8093分钟≈0.81分钟。

　　为了证明收银台的平均服务率的分布为(负)指数分布，本文将每名消费者被服务时间进行分组，即[0，0.5)，[0.5，1)，[1，1.5)，[1.5，2)，[2，2.5)，[2.5，+∞)六组，并将各个服务时间出现的次数进行统计分析，如表3。

　　通过对各个区间的中位数取值，为获取获取分布中的未知参数μ，运用极大似然估计法。

　　■=■=■u=16■=180分钟，即■=1.2355人/分钟。

　　表3 服务时间分组、次数统计

　　通过上述分析建立原假设与备选假设：H0：消费者服务时间服从负指数分布。H1：消费者服务时间不服从负指数分布。

　　根据表3数据，利用IBM SPSS Statistics 19非参数检验的单样本K-S检验[5]，验证结果如表4所示。

　　表4 Kolmogorov-Smirnov检验

　　由表4可知，当显著性水平α= 0.05时，渐进显著性(双侧)水平为0.708远远大于0.05，于是得到不拒绝原假设H0结论，表明顾客的服务时间服从μ=1.2355人/分钟的负指数分布。

　　2.3 模型求解

　　由前文得到：平均到达率λ=1.0989人/分钟，平均服务率μ=1.2355人/分钟。可得：

　　ρ=0.8894，Ls= 8.0447人，Lq=7.1553人

　　Ws= 7.3207分钟，Wq= 6.5113分钟。

　　可以看出消费者在系统中平均逗留时间7.3207分钟，这超过了消费者的期望等待时间T =6分钟[6]。

　　收银台的服务强度为88.94%，蔡文婧[6]等在研究银行排队系统表示服务强度在70%~80%之间，柜员能保持持续最佳的工作水平和服务质量。虽然超市与银行的环境有所区别，但88.94%的服务强度仍相对较高。

　　综上，我们发现当下的服务台运营并未达到最优效果。想要提高系统的运行效率，对收银台的个数进行合理增加或合理地提高收银员的服务率是两个有效的途径。只有这样在保证了每名服务员的服务水平和服务质量的基础上，也满足了消费者的消费需求。

　　3.排队系统优化

　　通过咨询服务员得知收银员每月工资为3000~3400元之间，取中位数为3200元/月;查寻北京市人力社保局、市统计局发布数据，2017年度北京市职工平均工资为101599元，月平均工资为8467元[7]。根据收银员月薪与北京市平均工资可得到收银员每分钟工资Cs=0.2899，北京市平均工资为Cw=0.7669，即消费者排队成本。

　　(一)系统增加服务台

　　由于本文是标准的M/M/1模型，单服务台的模型在不改变收银员的服务率的情况下，已经超出消费者快速消费的等待“舒适圈”。于是对收银台的个数进行适当的增加，以期达到保证服务员的服务水平和服务质量，也满足了消费者的消费需求(快速消费)的目的。

　　采用边际分析法，计算服务台C的数量。根据实际数据，我们构建了M/M/1/∞/∞/FCFS模型。即当C=2时，计算相关参数：

　　ρ(2)=0.4447，p0=0.6243

　　Lq=1.1548人，Ls=2.0442人

　　Ws=1.8602分钟，Wq=1.0509分钟

　　由上式可得到当C=2时，单位时间最小总费用E(2)=CsC+CwLs=1.4654元/分钟E0=6.5277元/分钟;表明消费者在排队系统中的逗留时间由原来的7.3207分钟减少到了1.8602分钟，此时收银员的服务强度为0.4447。这说明通过增加收银台的个数可以减少消费者在排队系统中的逗留时间，同时也可以也降低每个收银员服务强度。(二)提高收银员的服务效率

　　增加收银台有很多方面的限制因素，例如，收银员的人数限制等，故在不增加收银台的前提下，通过增强现有收银员的服务效率是具有现实意义的。

　　在M/M/1模型中，如果费用函数期望值=单位时间内的服务成本+顾客在系统内逗留费用，则：

　　E=Csμ+CwLs，于是得到E=Csμ+Cw ■

　　当μ是连续变量时，对上式中的μ求导数并令■=0，得最优服务率μ*=1.7434人/分钟。此时可求最小费用。

　　单位时间最小总费用E*=2.0875元，提高服务效率下的服务强度ρ*=0.6303，Ls*=1.7050人，Lq*=1.0747人，ws*=1.5516分钟wq*= 0.9780分钟。

　　由此可见，通过提高服务效率同样可以降低单位时间最小总费用，且服务强度也有所降低，消费者在系统中的平均逗留时间明显减小。这说明一个收银员对业务的的熟练程度可以很大程度上影响整个系统的运行效率。

　　4.总结

　　在两种优化方案下，提高收银员的服务效率对减少消费者在系统中的时间、排队长，有显著的作用。针对单位时间最小总费，虽然增加收银台的方式优于提高收银员的服务效率的方式，但相差不大，考虑到消费者的满意度，总体上还是提高收银员的服务效率更具有意义。C

　　(作者单位：北京物资学院)

　　参考文献

　　[1] 李森彪，邢文杰.双排队系统下大型超市运营效率的优化研究[J].运筹与管理，2017，26(12):61-67.

　　[2] 王冠一，邓华.基于Witness的超市收银排队系统仿真与优化[J].东南大学学报(哲学社会科学版)，2015，17(S1): 85-88.

　　[3] 蔡文婧，葛连升.基于排队论的银行业务窗口设置优化[J].山东大学学报(工学版)，2013，43(03):23-29.

　　[4] 冯登艳.银行排队现象的经济学分析[J].现代经济探讨，2013(03):83-87.

　　[5] 熊君星，赵金萍，张卿，刘建胜.超市收银台排队问题的分析与优化[J].高技术通讯，2019，29(02):189-194.

　　[6] 李华敏，张辉.顾客等待容忍度与银行排队服务系统的优化[J].金融论坛，2011，16(02):29-34.

　　[7] 北京市人力资源和社会保障局. 北京市统计局关于公布2017年北京市职工平均工资的通知[EB/OL].[2020-09-22].http://rsj.beijing.gov.cn/xxgk/tzgg/201912/t20191207_953389. html.